Question

x!+9=y^3
Найти все решения в натуральных числах уравнения

Answer 1

 Заметим что $x!+9$ всегда оканчивается на цифру $9$ 
положим что число $x geq 6$ тогда  число слева будет делится на $9$, тогда и справа должно  , но это возможно, когда $y=3n$ Так как $x!=1*2*3*4*5*6*....=$ то есть  он содержит множитель $2^x*5^y$ что дает   всегда $0$  , а так как $0+9=9$ 
но число     $y^3$    дает $9$ , тогда когда $y=9$
так как $(y-3^{frac{2}{3}})*(y^2+3^{frac{2}{3}}y+3*3^{frac{1}{3}})$ 
так как $y$ число кратное $3$ и   должно оканчиваться на $9$ .   Числа рода $39;69$   не представляются в в виде степени $3^a$
 то есть решение $x=6\ y=9$