Question

Решите уравнение (x^2-x+1)^2-10(x-4)(x+3)-109=0. В ответе укажите сумму его корней.

Answer 1

$(x^2-x+1)^2-10(x-4)(x+3)-109=0\ (x^2-x+1)^2-10(x^2-x-12)-109=0\ (x^2-x+1)^2-10(x^2-x+1)+21=0\ left[begin{array}{l} x^2-x+1=3\ x^2-x+1=7end{array}right.\ left[begin{array}{l} x^2-x-2=0\ x^2-x-6=0end{array}right.$
Сумму всех корней можно найти уже сейчас - ясно, что оба уравнения имеют по два корня, а значит, их сумму можно найти по теореме Виета. Сумма корней первого уравнения равна сумме корней второго уравнения и равна 1. Тогда сумма всех корней равна 2.

Для честности выпишем решения каждого из уравнений.
x^2 - x - 2 = 0: x1 = -1,  x2 = 2
x^2 - x - 6 = 0: x3 = -2,  x4 = 3