Question

Частные производные и полный дифференциал. Помогите решить хотя бы пару примеров

Answer 1

По определению частная производная это функция одной переменной. Потому, если находишь частную по х - тогда y это константа (и наоборот: если считаешь производную по y - х константа).
В твоих примерах все функции из $Asubseteqmathbb{R}^2$ в $mathbb{R}$, потому их дифференциал это градиент (к решению отношения не имеет, просто обозначение).

$z=frac{y-3x}{x+4y} \ nabla z=(frac{-13y}{(x+4y)^2},frac{13x}{(x+4y)^2})$
$z=e^{frac{3x}{y}}\ nabla z=(frac{3}{y}e^{frac{3x}{y}},-frac{3x}{y^2}e^{frac{3x}{y}})$
$z=ln(2x-y)\ nabla z=(frac{2}{2x-y},-frac{1}{2x-y})\ nabla z(1,1)=(3e^3,-3e^3)$
Будут вопросы - пиши.