Question

1)Найдите значения выражения $sqrt{x+y}$ , где (х:у)-решение системы

$left { {{sqrt{x^{2}-y^{2}}+sqrt{x-y}=9} atop {x^{2}-y^{2}-x+y}=27} right.$

2)Решите нервенство:

$3sin^{2}x+sinxcosx+2cos^{2}x>0$

Answer 1

$left { {{sqrt{x^2-y^2}+sqrt{x-y}=9} atop {x^2-y^2-x+y=27}} right.$

Поработаем со вторым уравнением. В нем записана формула разности квадратов. Перепишем его, чтобы было ее лучше видно.

$x^2-y^2-(x-y)=27$

Теперь разложим по формуле

$(sqrt{x^2-y^2}+sqrt{x-y})(sqrt{x^2-y^2}-sqrt{x-y})=27$

Видим, что "одна скобка" является первым уравнением системы, которое равно 9. Подставляем.

$9(sqrt{x^2-y^2}-sqrt{x-y})=27$

$sqrt{x^2-y^2}-sqrt{x-y}=3$

Под первым корнем находится формула(разность квадратов), разложим и вынесем за скобку общий множитель.

$sqrt{(x-y)(x+y)}-sqrt{x-y}=3$

$sqrt{x-y}(sqrt{x+y}-1)=3$           (1)

Теперь возвращаемся к первому уравнению, преобразуем его немного

$sqrt{(x-y)(x+y)}+sqrt{x-y}=9$

$sqrt{x-y}(sqrt{x+y}+1)=9$     (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1). Получим

$frac{sqrt{x+y}+1}{sqrt{x+y}-1}=3$

$sqrt{x+y}+1=3(sqrt{x+y}-1)$

$sqrt{x+y}+1=3sqrt{x+y}-3$

$2sqrt{x+y}=4$

$sqrt{x+y}=2$

Все, это ответ :) 

 

$3sin^2x+sinxcosx+2cos^2x>0$

Разделим на $cos^2x$

$3tg^2x+tgx+2>0$

$3tg^2x+tgx+2=0$

Пусть tgx=a.

$3a^2+a+2=0$

$D=1-4*2*3<0$, следовательно, а - любое!

НО, тангенс имеет ограничения. Он не имеет значений в точках (-П/2) и П/2, поэтому ответ

$(-frac{pi}{2}+pi*n;frac{pi}{2}+pi*n)$