Question

2sin3xsinx + (3 корня из 2 - 1)cos2x = 3

Объясните, пожалуйста, подробно, что делать с "2sin3xsinx" и косинусом!

Answer 1

$sinxbullet siny=frac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y)),$

$2sin3xsinx+(3sqrt{2}-1)cos2x=3,\2bulletfrac{1}{2}(cos(3x-x)-cos(3x+x))+(3sqrt{2}-1)cos2x=3,\cos2x-cos4x+(3sqrt{2}-1)cos2x=3,\cos2x(1+3sqrt{2}-1)-cos4x=3,\3sqrt{2}cos2x-cos4x=3(cos^22x+sin^22x),\3sqrt{2}cos2x-(cos^22x-sin^22x)-3cos^22x-3sin^22x=0,\3sqrt{2}cos2x-4cos^22x-2sin^22x=0,\3sqrt{2}cos2x-4cos^22x-2(1-cos^22x)=0,\3sqrt{2}cos2x-2cos^22x-2=0, |bullet(-1)\2cos^22x-3sqrt{2}cos2x+2=0,$

Пусть $2x=t$, тогда: $2cos^2t-3sqrt{2}cost+2=0$
И пусть  $z=cost, -1<z<1 (*)$

$2z^2-3sqrt{2}z+2=0,\D=(-3sqrt{2})^2-4bullet2bullet2=18-16=2,\\z_1=frac{3sqrt{2}-sqrt{2}}{4}=frac{2sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{2}}{2},$
— удовлетворяет условию $(*)$

$z_2=frac{3sqrt{2}+sqrt{2}}{4}=frac{4sqrt{2}}{4}=sqrt{2},$ — не удовлетворяет условию $(*)$,

$cost=frac{sqrt{2}}{2},\t=frac{pi}{4}+2pi n, nin Z,\\2x=frac{pi}{4}+2pi n, nin Z,\x=frac{pi}{8}+pi k, kin Z.$

Ответ: $x=frac{pi}{8}+pi k, kin Z.$

Answer 2

Спасибо, только cost= корень из 2 на 2, будет t=п/4 + 2пк!

Answer 3

Упустил из виду, сейчас подправим