Question

Каким образом Лужин пытался отомстить Раскольникову

Answer 1

тут несколько вариантов
1) он хотел чтобы он раскаялся и тем самым пострадал
2) он хотел показать себя действительно хорошим следователем, чтобы "утереть" нос Раскольникову, "отомстить" ему за то что он не хотел признавать содеянное, тем самым выставляя Лужина в плохом свете как плохого следователя