помогите решить 2 задачи по геометрии
1.Площадь равнобедренного треугольника равна S, а противолежащий основанию угол между медианами равен 90°. Найдите длину основания треугольника.
2.Прямая, перендикулярная диаметру MN полукруга с радиусом 6, пересекает этот диаметр в точке К,(МК:КN=2:10), а дугу полуокружности в точке L. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков LK, KN и дуги LN.
Ответы
Ответ дал:
0
Задача 1
Площадь равнобедренного треугольника равна S, а противолежащий основанию угол между медианами равен 90°. Найдите длину основания треугольника.
Назовем данный треугольник АВС, а точку пересечения медиан из А и С - буквой О.
Опустим из вершины В медиану ВН на АС.
Т.к. треугольник равнобедренный, ВН еще и высота треугольника и перпендикулярна АС.
АН=НС. Треугольник АОС - прямоугольный и равнобедренный, т.к. треугольники АОН и СОН равны.
ОН=АН=СН. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.ВО:ОН=2:1.Тогда ВН=3 ОН. Но ОН=АС/2
Высота ВН=3АС/2
S=h*a:2
а=АС
h=BН=3АС/2=3а/2
S=(3а/2)*а:2
S=3а²/4
а²=4S/3
а=√(4S/3)=2√(S/3
)-------------------------
Задача 2.
Прямая, перпендикулярная диаметру MN полукруга с радиусом 6, пересекает этот диаметр в точке К, (МК:КN=2:10), а дугу полуокружности в точке L. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков
LK, KN и дуги LN.
------------------
Соединим L, M и N. Треугольник LMN - прямоугольный, т.к. угол МLN опирается на диаметр.
LК в нем - высота и, по свойству высоты прямоугольного треугольника из прямого угла к гипотенузе, является средней пропорциональной отрезков МК и КN гипотенузы (диаметра) MN.
MN=2r=6*2=12.
Тогда МК=2, КN=10
LK²=MK*KN-2*10=20
LK=√20=2√5
Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе.
Биссектриса угла LKN делит прямой угол LKN на два по 45°
Пусть точка касания окружности с КN будет Е, а со второй касательной из N - Т.
Тогда по свойству касательных из одной точки ЕN= NT,
а NL - биссектриса угла KNT.
Точка О пересечения биссектрис углов KNТ и LKN - центр вписанной окружности. Расстояния от любой точки биссектрисы до сторон угла, в котором она проведена, равны.
ОЕ⊥KN.
ОТ⊥NT
ОЕ=ОТ=r
Угол KTN=90°
Так как угол ТКN равен 45°, прямоугольный треугольник KTN- равнобедренный. ТН ⊥ MN - высота, биссектриса и медиана равнобедренного ⊿ KTN ⇒ по свойству медианы прямоугольного треугольника
КН=НN=ТН=10:2=5
КТ =КН:(cos 45°)=5:(√2)/2=5√2
Рассмотрим треугольники КТН и KОE. Они прямоугольные, имеют общий угол при К ⇒ они подобны.
КТ:KО=TH:OE
ОЕ=ОТ=r
KO= КТ-ОТ=5√2-r
5√2:(5√2-r)=5:r Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
5√2 r=5*(5√2-r) Сократим на 5:
√2 r=5√2 -r
√2 r+r=5√2
r*(√2 +1)=5√2 ...Домножим числитель и знаменатель в правой половине уравнения на (√2-1)
r= 5√2: (√2+1)= 5√2*(√2-1):(2-1)=5*(2-√2)=≈2,93
Площадь равнобедренного треугольника равна S, а противолежащий основанию угол между медианами равен 90°. Найдите длину основания треугольника.
Назовем данный треугольник АВС, а точку пересечения медиан из А и С - буквой О.
Опустим из вершины В медиану ВН на АС.
Т.к. треугольник равнобедренный, ВН еще и высота треугольника и перпендикулярна АС.
АН=НС. Треугольник АОС - прямоугольный и равнобедренный, т.к. треугольники АОН и СОН равны.
ОН=АН=СН. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.ВО:ОН=2:1.Тогда ВН=3 ОН. Но ОН=АС/2
Высота ВН=3АС/2
S=h*a:2
а=АС
h=BН=3АС/2=3а/2
S=(3а/2)*а:2
S=3а²/4
а²=4S/3
а=√(4S/3)=2√(S/3
)-------------------------
Задача 2.
Прямая, перпендикулярная диаметру MN полукруга с радиусом 6, пересекает этот диаметр в точке К, (МК:КN=2:10), а дугу полуокружности в точке L. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков
LK, KN и дуги LN.
------------------
Соединим L, M и N. Треугольник LMN - прямоугольный, т.к. угол МLN опирается на диаметр.
LК в нем - высота и, по свойству высоты прямоугольного треугольника из прямого угла к гипотенузе, является средней пропорциональной отрезков МК и КN гипотенузы (диаметра) MN.
MN=2r=6*2=12.
Тогда МК=2, КN=10
LK²=MK*KN-2*10=20
LK=√20=2√5
Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе.
Биссектриса угла LKN делит прямой угол LKN на два по 45°
Пусть точка касания окружности с КN будет Е, а со второй касательной из N - Т.
Тогда по свойству касательных из одной точки ЕN= NT,
а NL - биссектриса угла KNT.
Точка О пересечения биссектрис углов KNТ и LKN - центр вписанной окружности. Расстояния от любой точки биссектрисы до сторон угла, в котором она проведена, равны.
ОЕ⊥KN.
ОТ⊥NT
ОЕ=ОТ=r
Угол KTN=90°
Так как угол ТКN равен 45°, прямоугольный треугольник KTN- равнобедренный. ТН ⊥ MN - высота, биссектриса и медиана равнобедренного ⊿ KTN ⇒ по свойству медианы прямоугольного треугольника
КН=НN=ТН=10:2=5
КТ =КН:(cos 45°)=5:(√2)/2=5√2
Рассмотрим треугольники КТН и KОE. Они прямоугольные, имеют общий угол при К ⇒ они подобны.
КТ:KО=TH:OE
ОЕ=ОТ=r
KO= КТ-ОТ=5√2-r
5√2:(5√2-r)=5:r Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
5√2 r=5*(5√2-r) Сократим на 5:
√2 r=5√2 -r
√2 r+r=5√2
r*(√2 +1)=5√2 ...Домножим числитель и знаменатель в правой половине уравнения на (√2-1)
r= 5√2: (√2+1)= 5√2*(√2-1):(2-1)=5*(2-√2)=≈2,93
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/0dd/0ddb51d7ba793d27799c619cb2602a33.jpg)
Ответ дал:
0
Если умножить числитель и знаменатель на одно и то же число ( в данном случае (2-1), то значение дроби не меняется. Это Вы знаете.
Ответ дал:
0
И тогда в знаменателе по формуле сокращенного умножения суммы на разность получится разность квадратов. Здесь (√2)² -1=2-1=1 Попробуйте за этим преобразованием проследить с ручкой и бумагой пошагово. Разберетесь.
Ответ дал:
0
Если умножить числитель и знаменатель на одно и то же число ( в данном случае (√2-1), то значение дроби не меняется.
Ответ дал:
0
И тогда в знаменателе по формуле сокращенного умножения суммы на разность получится разность квадратов. Здесь (√2)² -1=2-1=1 Попробуйте за этим преобразованием проследить с ручкой и бумагой пошагово. Разберетесь.
Ответ дал:
0
все. спасибо
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
9 лет назад
9 лет назад
9 лет назад