Question

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
сторона основания AB=√3, боковое ребро SA = √7. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCS.

Answer 1

Заметим, что AD параллельно BC, а значит, и всей плоскости BCS. Это значит, что все точки прямой AD равноудалены от плоскости BCS. 
Пусть SH — высота треугольника BCS, SO — перпендикуляр, опущенный из точки S к плоскости основания пирамиды, при этом точка O принадлежит AD. Искомым расстоянием будет длина высоты OM прямоугольного треугольника SOH.

1) Найдём OH из равностороннего треугольника OBC: OH = BC*sqrt(3)/2 = 3/2
2) Найдём SH из прямоугольного треугольника BHS: SH = sqrt(SB^2-BH^2) = sqrt(sqrt(7)^2-(sqrt(3)/2)^2) = 5/2
3) Найдём SO из прямоугольного треугольника SOH: SO = sqrt(SH^2-OH^2) = 4/2
4) Искомое расстояние OM, зная все стороны прямоугольного треугольника SOH, можно, например, найти, записав выражение для его площади двумя разными способами:
S = SO*OH/2 = SH*OM/2, откуда
OM = SO*OH/SH = 4*3/5 = 6/5