Question

В выпуклом четырехугольнике ABCD все стороны имеют разные длины. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О, ОС=5см, ОВ=6см, ОА=15см, OD=18см.
а) Докажите, что четырехугольник ABCD является трапецией
б) Найдите отношение площадей треугольников AOD и BOC.

Answer 1

а) Рассмотрим треугольники ВОС и ДОА:
           угол ВОС=углу ДОА как вертикальные
           ВО/ОД=СО/ОА;    6/18=5/15=1/3
Значит треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Так как треугольники подобны, то у них соответствующие углы равны:
угол СВО=углу АДО и угол ВСО=углу ДАО.
Так как эти углы являются внутренними накрест лежащими и равны, то прямые ВС и АД - параллельны.
Данный четырехугольник имеет две параллельные стороны и две другие не параллельны - значит АВСД - трапеция.

б) Так как треугольники  АОД и ВОС подобны с коэффициентом подобия 3, то площади их относятся как квадрат коэффициента подобия, а значит
S(АОД)/S(ВОС) = 9