Question

$log_8x+log_2^{0.5} x=14$

Answer 1

$log_8x+log_2^{0.5}x=14$
ОДЗ: $left { {{log_2x geq 0} atop {x>0}} right. to left { {{x geq 1} atop {x>0}} right. to x geq 1$
Воспользуемся формулами перехода к новому основанию
$frac{log_2x}{log_28} +log_2^{0.5}=14 \ frac{log_2x}{3} + sqrt{log_2x} =14$
 Сделаем замену переменных
Пусть $sqrt{log_2x} =t,,(t geq 0)$, тогда имеем
$frac{1}{3} t^2+t=14|cdot 3 \ t^2+3t-42=0$
 D=b²-4ac=177
$t_1= frac{-3- sqrt{177} }{2}$ - не удовлетворяет условие при t≥0
$t_2=frac{-3+ sqrt{177} }{2}$
Возвращаемся к замене
$sqrt{log_2x} =frac{-3+sqrt{177} }{2} \ log_2x=(frac{-3+ sqrt{177} }{2} )^2 \ log_2x= frac{93-3 sqrt{177} }{2} \ x=2^{frac{93-3 sqrt{177} }{2}}$

Ответ: $2^{frac{93-3 sqrt{177} }{2}}$