Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в области D, ограниченной заданными линиями:
z = 2x ^ 3 - xy ^ 2 + y ^ 2,
D: y = 6, y = 0, x = 0, x = 1

Answer 1

$z=2x^3-xy^2+y^2\\ left { {{z'_{x}=6x^2-y^2=0} atop {z'_{y}=-2xy+2y=0}} right. ; left { {{6x^2-y^2=0} atop {2y(1-x)=0}} right. ; Rightarrow \\ left { {{6x^2=0} atop {y=0}} right. ; ; ili; ; left { {{y^2=6} atop {x=1}} right. \\A(0,0); ; ili; ; B(1,sqrt6),; C(1,-sqrt6)notin oblasti\\z(A)=z(0,0)=0\\z(B)=z(1,sqrt6)=2-6+6=1\\a); y=6,; ; 0 leq x leq 1\\z=2x^3-36x+36=2(x^3-18x+18)=z_1(x)$

$z_1'(x)=2(3x^2-18)=0\\x^2=6,; ; x=pm sqrt6; ; Rightarrow \\z_1(sqrt6)=2(6sqrt6-18sqrt6+18)=2(-12sqrt6+18)=\\=12(3-2sqrt6)approx -22,8$

$b); y=0,; 0 leq x leq 1\\z=2x^3=z_2(x)\\z'_2(x)=6x^2=0,; x=0; to \\z_2(0)=0,z_2(1)=2\\c); x=0,; 0 leq y leq 6\\z=y^2=z_3(y)\\z_3'=2y=0,; y=0; to \\ z_3(0)=0,z_3(6)=36\\d); x=1,; 0 leq y leq 6\\z=2-y^2+y^2=2=z_4; to z'_4=0; pri; 0 leq y leq 6\\z_4(0)=z_4(6)=2$

Наименьшее значение z=12(3-2√6)  в точке В(1,√6)
Наибольшее значение z=36 в точке Д(0,6)