Question

Дана последовательность
$alpha n= 4^{n}+6n-1$
Докажите что $alpha n$ кратно 9 при любом натуральном n

Answer 1

 
 $a_{n}=4^n+6n-1$ 
 докажем при помощи мат индукции 
 $n->n+1\ a_{n+1} = 4^{ n+1 } +6n+6-1= 4*4^n+6n+6-1 = a_{n}+3*4^n+6\ a_{n+1} = a_{n}+3(2^{2n}+2)$ 
 так как  $a_{n}$ кратно $9$ ,  надо доказать что  $2^{2n}+2$ кратно $3$ что верно , так как $2^{2n}+2$ уже содержит множитель $3$  либо 
 $a_{n+1}=4^{n+1}+6n+6-1=4*4^n+24n-4-18n+9\ a_{n+1}=4*a_{n}-9(2n-1)$
 то есть кратно  $9$