Question

$y''x*lnx=2y'$
Ответ:
$y=C_1(x*lnx^2-2xlnx+2x)+C_2$
Нужно решение.

Answer 1

делаем замену y' =t        t' *x *lnx = 2*t переменные разделяются
t'/t = 2/(x*lnx)      dt/t = 2dx/(x* lnx)
инт(dt/t) = ln(t) + ln(C1)    во втором инт замена ln(x)= z   dz= dx/x
инт(2dx/(x* lnx)) = 2 инт(dz/z) = 2 ln(z) = 2 ln(lnx) = ln(ln^2(x)) 
ln(t) + ln(C1) = ln(ln^2(x))
C1 * t = ln^2(x)
C1 * y' = ln^2(x)
C1 * dy = ln^2(x) * dx второй инт вычисляется методом по частям
инт(ln^2(x) dx) = x * ln^2(x) - инт(2* ln(x) * dx) = x * ln^2(x) - 2x * ln(x) + инт(2dx) =
= x * ln^2(x) - 2 * x * ln(x) + 2*x + C2
C1 * y  =  x * ln^2(x) - 2 * x * ln(x) + 2*x + C2
y = 1/C1 * (x * ln^2(x) - 2 * x * ln(x) + 2*x + C2) 
переобозначая константы 1/С1 = c1    C2/C1 = c2 получаем
y = c1 *(x * ln^2(x) - 2 * x * ln(x) + 2*x) +c2