Question

БУДЬ-ЛАСКА ДОПОМОЖІТЬ ))
Розвязати рівняння:
1 ) $cos ^{2} x+cosx=2$
2) $4sin ^{2} x+4sin x -3=0$
3) $4cos ^{2} x+4sinx-1=0$

Answer 1

1)
$cos^2x+cos x=2;\ cos x=1, x=pi n, nin Z$
тут все просто, так як косинус не може бути більшим за одиницю, і його квадрат, відповідно, також не більше одиниці, а їх сума рівна 2, тому все просто, можу показати і повний розв’язок
$cos^2x+cos x=2;\ left|left|cos x=t; -1leq tleq1; left|tright|leq1; tinleft[-1;1right]right|right|\ t^2+t=2;\ t^2+t-2=0;\ D=1^2-4cdot1cdot(-2)=1+8=9=left(pm3right)^2;\ t_1=frac{-1}{2}-frac{3}{2}=-frac{1+3}{2}=-frac42=-2notinleft[-1;1right];\ t_2=frac{-1}{2}+frac{3}{2}=frac{-1+3}{2}=frac22=1inleft[-1;1right];\ cos x=1; x=pi n, nin Z$

2)
$4sin^2x+4sin x-3=0;\ left|left|sin x=t; -1leq tleq1; left|tright|leq1; tinleft[-1;1right]right|right| 4t^2+4t-3=0;\ D=16^2-4cdot4cdot(-3)=16+48=64=left(pm8right)^2;\ t_1=frac{-4}{2cdot4}-frac{8}{2cdot4}=frac{-4}{8}-frac88=-frac12-1=-1frac12notinleft[-1;1right];\ t_2=frac{-4}{2cdot4}+frac{8}{2cdot4}=frac{-4}{8}+frac88=-frac12+1=frac12inleft[-1;1right];\ sin x=frac12; x=left(-1right)^nfracpi6+pi n, nin Z$


3)

$4cos^2x+4sin x-1=0;\ 4left(1-sin^2xright)+4sin x-1=0;\ 4-4sin^2x+4sin x-1=0;\ -4sin^2x+4sin x+3=0;\ 4sin^2x-4sin x-3=0;\ left|left|sin x=t; -1leq tleq 1; left|tright|leq1; tinleft[-1;1right];right|right|\ 4t^2-4t-3=0;\ D=(-4)^2-4cdot4cdot(-3)=16+48=64=left(pm8right)^2;$
$t_1=frac{-(-4)}{2cdot4}-frac{8}{2cdot4}=frac48-frac88=frac12-1=-frac12inleft[-1;1right];\ t_2=frac{-(-4)}{2cdot4}+frac{8}{2cdot4}=frac48+frac99=frac12+1=1frac12notinleft[-1;1right];\ sin x=-frac12;\ x=left(-1right)^nleft(-fracpi6right)+pi n, nin Z;\ x=left(-1right)^{n+1}fracpi6+pi n, nin Z$