Question

Как найти длину промежутка убывания функции
y=$(x^{2} +3x-39) e^x$

Answer 1

$y'=(2x+3)e^x+(x^2+3x-39)e^x=e^x(x^2+5x-36)=\\=e^x(x-4)(x+9)$

ф-ция убывает, где производная не больше нуля
$e^x(x-4)(x+9)leq 0$
т.к. e^x >0 при всех икс, можно на него подулить обе части неравенства и знак не изменится
$(x-4)(x+9) leq 0\xin[-9,4]$

ответ 13

Answer 2

функция убывает, когда первая производная отрицательная, найдём этот промежуток:
$y=left(x^2+3x-39right)e^x;\ y'=left(x^2+3x-39right)'cdot e^x+left(x^2+3x-39right)cdot left(e^xright)'=\ =left(2x+3right)e^x+left(x^2+3x-39right)e^x=\ =e^xleft(x^2+2x+3x+3-39right)=e^xleft(x^2+5x-36right)$
найдём промежутки убывания
$y'=e^xleft(x^2+5x-36right);\ e^xgeq0;\ x^2+5x-36=0;\ D=25+144=169=(pm13)^2;\ x_1=frac{-5-13}{2}=-frac{-18}{2}=-9; x_2=frac{-5+13}{2}=-frac{8}{2}=4;$
если возьмём ноль, то увидемю что производдная =-36<0, то-есть при [-9;4], данная функция убывает
длина промежутка равна(4-(-9)=13)(легко заметить, что арифметический корень с дискриминанта, делённый на первый коэфициент
 и есть длина нашего промежутка)
$x_1=frac{-b}{2cdot a}-frac{sqrt{D}}{2cdot a};\ x_2=frac{-b}{2cdot a}+frac{sqrt{D}}{2cdot a};\ Delta x=x_2-x_1=-frac{b}{2a}+frac{sqrt{D}}{2a}+frac{b}{2x}+frac{sqrt{D}}{2a}=\ =frac{sqrt{D}}{a}$

Answer 3

Что-то пошло не так , но все равно спасибо за старания .