Question

Решите уравнение:
$sqrt{sinxcosx} ( frac{1}{tg2x}+1)=0$

Answer 1

√(sinx•cosx) • ( (1/tg2x) + 1 ) = 0

Найдём ограничения:

sinx•cosx ≥ 0 ⇔ (1/2)•sin2x ≥ 0 ⇔ sin2x ≥ 0 ⇔ 2πn ≤ 2x ≤ π + 2πn ⇔ πn ≤ x ≤ (π/2) + πn

tg2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ πn ⇔ x ≠ πn/2

Итого: πn < x < (π/2) + πn, n ∈ Z

------------------------------------------------------------------------------------------------

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла

1) √(sinx•cosx) = 0

sinx•cosx = 0

▪sinx = 0 ⇔ x = πk

▪cosx = 0 ⇔ x = (π/2) + πk

Итого: х = πk/2, k ∈ Z - четыре точки на осях, которые не подходят по ограничению.

2) (1/tg2x) + 1 = 0

tg2x = - 1

2x = (-π/4) + πk

x = (-π/8) + (πk/2) - четыре точки на окружности:

х₁ = (-π/8) + 2πk, x₂ = (3π/8) + 2πk,

x₃ = (7π/8) + 2πk, x₄ = (11π/8) + 2πk

С учётом ограничений подходят только две точки, которые можно объединить: х₂ = (3π/8) + 2πk, x₄ = (11π/8) + 2πk ⇒

х = (3π/8) + πk, k ∈ Z

ОТВЕТ: (3π/8) + πk, k ∈ Z