Question

Много баллов!!!
Помогите решить!
Найдите а при которой система
(X-5)^2+(y-4)^2=4
(X+2)2+y^2=a
Имеет 1 решение

Answer 1

$(x-5)^2+(y-4)^2=4 \ (x+2)^2+y^2=a$

Уравнения системы представляют собой уравнения окружностей.
Это значит что единственное решение система имеет только в том случае, если эти окружности касаются друг друга  ⇒  должно выполняться равенство:

$O_{1} O_{2} = r_{1}+ r_{2}$
где  $O_{1} O_{2}$  -  расстояние между центрами окружностей.

Центр первой окружности:  О1 ( 5; 4),  r1 = 2.
Центр второй  окружности:  О2 ( -2; 0),  r2 = √a
Расстояние между центрами вычисляем по формуле:
$O_{1} O_{2} = sqrt{( x_{2}- x_{1})^{2}+ ( y_{2}- y_{1})^{2} } = \ = sqrt{(-2- 5)^{2}+ (0- 4)^{2} } = sqrt{(-7)^{2}+ (- 4)^{2} } = \ =sqrt{49+ 16 } =sqrt{65}$

подставляем получившиеся значения в равенство:
 $O_{1} O_{2} = r_{1}+ r_{2} \ sqrt{65} = 2 + sqrt{a} \ sqrt{a} = sqrt{65} - 2 \ a = (sqrt{65} - 2 ) ^{2}= 65 - 4 sqrt{65} +4 = 69- 4 sqrt{65}$