Question

Найдите наибольшее значение функции: y=(x^2-21x+21)e^21-x на отрезке [20;23]

Answer 1

Найдите наибольшее значение функции: 
$y = (x^2-21x+21)*e^{21-x}$
на отрезке [20;23]

Найдем производную функции
$y' = [(x^2-21x+21)*e^{21-x}]' = \ \ = (x^2-21x+21)' * e^{21-x} + (x^2-21x+21)*(e^{21-x})' = \ \ = (2x-21) * e^{21-x} - (x^2-21x+21)*e^{21-x} = \ \ = (-x^2-+23x-42)*e^{21-x}$

Найдем экстремумы функции, для этого найдем y' = 0

$(-x^2-+23x-42)*e^{21-x} = 0$

где $e^{21-x} neq 0$

Тогда
$-x^2-+23x-42 = 0 \ \ x_1 = 2 ; x_2 =21$

x1 - не принадлежит отрезке [20;23]

тогда найдем знак производной лева и справа от точки экстремума х=21

$x textless 21 ; y'(x) textgreater 0$  - функция возрастает

$x textgreater 21 ; y'(x) textless 0$  - функция убывает

Таким образом производная меняем знак с "+" на "-" , то х=21 - точка максимума.

Найдем наибольшее значение функции на отрезке [20;23]

$y(21) = (21^2-21*21 + 21)*e^{21-21} = 21 * e^0 = 21$

Ответ: у = 21