Question

Числа 1,2,3 ... 2012 выписали друг за другом так, что получилось число 1234...20112012. Его первую слева цифру умножили на 2 и прибавили к произведению
вторую слева цифру числа. Полученную сумму умножили на 2, прибавили к произведению третью цифру и так далее. Наконец, прибавили последнюю слева цифру числа. С полученным числом проделали то же самое. Такое преобразование продолжили до тех пор, пока не получилось однозначное число. Найдите это число.
Данная задача сводится к тому что надо найти остаток от деления этого числа на 8, объясните почему это так?

Answer 1

   Это признак  Паскаля , оно утверждает что для любого числа можно найти равноостаточное число , к примеру  $375$  при делений на $8$, получим $10=8*1+2\ 2*10=8*2+4$ то есть , $5+7*2+3*4=31$ они дают такие же остатки $31 equiv 7 mod (8)\ 375 equiv 7 mod (8)$  (если не понятно объяснил а я думаю что это скорее всего так , посмотрите в сети  Признак Паскаля там более подробно  написано , как посмотрите смотрите продолжение) 
 Так что это значит? надо заметить что $375\ 3*2+7=13\ 13*2+5=31$ то есть она равна тому же числу  ,  опять воспользуемся   признаком               Паскаля  $3*2+1=7$, то есть вся задача сводится к признаку Паскаля  
 а по условию первое умножается и суммируется что и произошло здесь $3*2+1$, то есть  задача построена на этот     признак 
 то есть $375equiv31equiv7 mod (8)$  и все они суммы чисел следующие по условию
 Интересно что можно так же вывести то что , если бы числа  умножалось на $3$ , нам пришлось бы делить на $7$  и так далее  
 
 В вашем случае ответ $4$