Question

∛(3-x) +√(6+x)=3, найти сумму корней

Answer 1

$sqrt[3]{3-x} + sqrt{6+x} =3$
ОДЗ: $6+x geq 0 \ x geq -6$
Произведем замену переменных
Пусть $sqrt{6+x} =a,,, sqrt[3]{3-x}=b$ (a>0), получаем
$left { {{6+x=a^2} atop {3-x=b^3}} right.$
a+b=3 - выразим через b
b=3-a
$left { {{6+x=a^2} atop {3-x=(3-a)^3}} right.$
Из уравнения 1 выразим переменную х
$left { {{x=a^2-6} atop {3-x=(3-a)^3}} right.$
Подставим вместо переменной х найденное выражение
$3-(a^2-6)=(a-3)^3 \ 3-a^2+6=(a-3)^3 \ 9-a^2=(a-3)^3 \ -(a+3)(a-3)+(a-3)^3=0 \ (a-3)(-a-3+a^2-6a+9)=0 \ (a-3)(a^2-7a+6)=0 \ (a-3)(a-1)(a-6)=0$
Откуда а
$a_1=1 \ a_2=3 \ a_3=6$
Найдем b
$b_1=3-a_1=3-1=2 \ b_2=3-a_2=3-3=0 \ b_3=3-a_3=3-6=-3$
Возвращаемся к замене
$x_1=1^2-6=-5 \ x_2=3^2-6=3\ x_3=6^2-6=30$

Сумма корней: $-5+3+30=28$

Ответ: 28.