Question

диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Отрезок ОР - медиана треугольника АОD. На отрезках АО и ОР как на сторонах построен параллелограмм АОРТ . Известно, что АС = 16 см, BD = 12 см. Вычислите косинус угла между прямыми, содержащими диагонали параллелограмма АОРТ

Answer 1

S(AOPT)=2S(AOP)=S(AOD)=1/2AO*OD=1/2*1/AC*1/2BD=1/2*8*6=24
или по другому
S(AOPT)=2S(AOP)=S(AOD)=1/4*S(ABCD)=1/4*1/2*AC*BD=1/8*16*12=24

С другой стороны площадь паралл. AOPT :  S(AOPT)=1/2AP*OT*sin(fi)=
=5/2OTsin(fi)   Таким образом   5/2*OT*sin(fi)=24,  остается определить  OT
Для  параллелограммы    AOPT               OT^2+AP^2=2(AO^2+OP^2)
[ OP=1/2*AD=1/2sqrt(8^2+6^2)=1/2sqrt100=1/2*10=5  ]
   OT^2=2(8^2+5^2)=178-5^2= 153  ==>0T=sqrt(153)=sqrt(9*17)=3sqrt(17)
        5/2*OT*sin(fi)=24  ==> 5/2*3sqrt(17)sin(fi)=24  ==>sin(fi)=16/5*sqrt(17)
cos(fi)=sqrt(1-256/25*17)=sqrt(169/25*17)=13/(5*sqrt(17))