Question

В правильную четырёхугольную пирамиду, сторона основания которой равна 4 см, вписан шар. Найдите объём пирамиды, учитывая, что радиус шара равен 1 см.

Answer 1

сечение : в равнобедренный Δ вписан круг.
r - радиус вписанной окружности
r=S/p, p=(a+b+c)/2, a=b=x см, c=4 см
Р=х+х+4=2х+4, р=х+2
S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
S=√ [(x+2)*(x+2-x)*(x+2-x)*(x+2-4)]=4*√ [(x-2)*(x+2) ]=√4*(x²-4)
r=1 см,=> S=p, √4*(x²-4)=x+2, (√4*(x²-4))²=(x+2)², 4x²-16=x²+4x+4
3x²-4x-20=0, x=10/3 см -боковая сторона равнобедренного треугольника в сечении. найти высоту Н пирамиды. по т. Пифагора: (10/3)²=Н²+(4/2)², 
 Н=8/3
V=(1/3)*Sосн*Н
V=(1/3)*4² *(8/3)=128/9
Vпирам.=128/9 см³