Question

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12см и образует с высотой угол в 30

Answer 1

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с высотой угол в 30°.

==========================================================

▪В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Вершина такой пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей квадрата. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

▪Рассмотрим ΔАОМ: ∠АМО = 30°  ⇒  катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы  ⇒  АО = АМ/2 = 12/2 = 6 см  ⇒  AO = BO = CO = DO = 6 см

По т. Пифагора:

АМ² = АО² + ОМ²

ОМ² = АМ² - АО² = 12² - 6² = 144 - 36 = 108

ОМ = 6√3 см

▪Рассмотрим ΔАОВ: по т. Пифагора

АВ² = АО² + ВО² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72

АВ = 6√2 см

V mabcd = S осн. • H / 3 = AB² • MO / 3 = ( 6√2 )² • 6√3 / 3 = 72 • 6√3 / 3 = 144√3 см³

ОТВЕТ: 144√3