Question

Настя помоги решить))))))
Медианы AA₁,BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC=3MB
a)Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
b)Найдите сумму квадратов медиан AA₁ и CC₁, если известно, что AC=10.

Answer 1

1) пусть MB-x
т.к.MB/MB1=2/1, то BM=2/3BB1;x=2/3BB1;BB1=3/2x
AC=3x
AB1=B1C=3/2x
из этого следует, что
B1A=BB1=B1C, т.е. точка B равноудалена от вершин треугольника, а значит она является центром окружности описанной около треугольника, тогда  B=90(потому что опирается на диаметр)
2)тут по формуле медиан:
AA1²=1/4(2AC²+2AB²-BC²)
CC1²=1/4(2AC²+2BC²-AB²)
AA1²+CC1²=1/4(4AC²+AB²+BC²)=1/4(4AC²+AC²)=5/4AC²
5/4*144=5*36=180