Question

50 баллов! помогите пожалуйста с решением!

Answer 1

$\log_{\sqrt{10}}\sqrt{x^4+1}=\lg(53x^2-5)-1;\\ \log_{10^{\frac12}}\sqrt{x^4+1}=\lg(53x^2-5)-1;\\ \frac1{\frac12}\cdot\log_{10}\sqrt{x^4+1}=\lg(53x^2-5)-1;\\ 2\cdot\log_{10}\sqrt{x^4+1}=\lg(53x^2-5)-1;\\ \lg\left(\sqrt{x^4+1}\right)^2=\lg(53x^2-5)-\lg10;\\ D(f):\ 53x^2-5>0;\\ 53x^2>5;\\ x^2>\frac5{53};\\ x\in(-\infty;-\sqrt{\frac{5}{53}})\cup(\sqrt{\frac{5}{53}};+\infty);\\ \lg(x^4+1)=\lg(\frac{53x^2-5}{10});\\ 10^{\lg(x^4+1)}=10^{\lg(\frac{53x^2-5}{10})};\\ x^4+1=\frac{53x^2-5}{10};\\ 10x^4+10=53x^2-5;$
$10x^4+10=53x^2-5;\\ 10x^4-53x^2+15=0;\\ x^2=t;\\ 10t^2-53t+15=0;\\ D=(-53)^2-4\cdot10\cdot15=2809-600=2209=(\pm47)^2;\\ t_1=\frac{53-47}{20}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=0,3;\\ t_2=\frac{53+47}{20}=\frac{100}{20}=5;\\ x_{1,2}=\pm\sqrt{0,3}\in D(f);\\ x_{3,4}=\pm\sqrt5\in \ D(f)$

Answer 2

Найдем допустимые значения x.
Подкоренное выражение x^4+1 положительно при любых x
53x^2-5 должно быть >0   53x^2-5 >0   x^2>5/53 (**)
 Сменим основание логарифма по формуле
 
log 10^1/2(корень(x^4+1)) = lg(53x^2-5)-1
2 lg(корень(x^4+1)) = lg(53x^2-5)-1 вносим 2 под корень. Тогда корень пропадет
lg(x^4+1) = lg(53x^2-5)-1
lg(53x^2-5) - lg(x^4+1) =1 Логарифм частного
lg(53x^2-5/x^4+1) =1    1=lg10
53x^2-5/x^4+1 =10,   53x^2 - 5 =10x^4+10, 10x^4+53x^2+15 =0
Сделаем замену t=x^2, т.е. t>=0
10t^2+53t+15=0
D=53^2-4*10*15=2809-600=2209  корень(D)= 47
t1=(53+47)/20=5,   t2=(53-47)/20=0,3
Видим что оба значения t > 0 и удовлетворяют условию   (**). Следовательно,
имеем 4 корня:
x1= -корень(5), x2= -корень(0,3),  x3= корень(0,3), x4= корень(5)