Question

Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна 30, а сумма следующих четырёх членов 480. Найти сумму первых 12 членов

Answer 1

$\begin{cases}b_1+b_2+b_3+b_4=30\\b_5+b_6+b_7+b_8=480\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3=30\\b_1q^4+b_1q^5+b_1q^6+b_1q^7=480\end{cases}\Rightarrow$
$\Rightarrow\begin{cases}b_1(1+q+q^2+q^3)=30\\b_1q^4(1+q+q^2+q^3)=480\end{cases}$
Разделим второе уравнение на первое
$\begin{cases}b_1(1+q+q^2+q^3)=30\\q^4=16\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1(1+q+q^2+q^3)=30\\q^4=\pm2\end{cases}\\\\S_4=\frac{b_1(1-q^4)}{(1-q)}\\npu\;q=-2:\\\frac{b_1(1-16)}{1+2}=30\\-15b_1=90\\b_1=-6\\S_{12}=\frac{-6\cdot(1-4096)}{3}=8190\\\\npu\;q=2:\\\frac{b_1(1-16)}{1-2}=30\\-15b_1=-30\\b_1=2\\S_1_2=\frac{2\cdot(1-4096)}{1-2}=8190$

Ответ: 8190.