Question

найдите два натуральных числа таких, что их сумма, их разность, а также частное от деления одного из них на другое являются факториалами. В ответе укажите наибольшее из найденных чисел.

Answer 1

Может быть только 4 и 2:
4+2=3!
4-2=2!
4/2=2!
Ответ: 4.
Доказать можно так:
x+y=n!
x-y=k!
тогда x=(n!+k!)/2, y=(n!-k!)/2. Значит $x/y=\frac{(k+1)\cdot...\cdot(n-1) n+1}{(k+1)\cdot...\cdot(n-1) n-1}=1+\frac{2}{(k+1)\cdot...\cdot(n-1) n-1}$. Таким образом, чтобы это число было целым и факториалом, знаменатель должен быть 2 (1 не подходит, т.к.1+2/1=3 не являяется факториалом). Это может быть только если k=2 и n=3. Т.е. x=4, y=2.