Question

Постройте график функции $\\ y = \frac{2x+1}{2x^2 + x}$ и определите при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку. Сделать все возможные пояснения, приложить график.

Answer 1

Находим область определения: знаменатель не может быть равен нулю:
$2x^2 + x \neq 0 \\\ x(x + \frac{1}{2} ) \neq 0 \\\ x\in(-\infty;- \frac{1}{2} )\cup(- \frac{1}{2};0);(0;+\infty)$
Сокращаем дробь:
$y = \frac{2x+1}{2x^2 + x}= \frac{2x+1}{x(2x + 1)}= \frac{1}{x}$
График - стандартная гипербола с выколотой точкой $(- \frac{1}{2} ;-2)$ - на картинке
Определяем значения k: сама по себе гипербола имеет две точки пересечения с прямой:
$kx= \frac{1}{x} \\\ kx^2= 1 \\\ x^2= \frac{1}{k} \\\ x=\pm \sqrt{\frac{1}{k} }$
Но, так как наша гипербола отличается от стандартной выколотой точкой, то рассмотрим прямую, проходящую через эту точку:
$y=kx \\\ -2=- \frac{1}{2} k \\\ 2= \frac{1}{2} k \\ k=4$
Ответ:  4

Answer 2

у=(2х+1)/(2x^2+x)
одз 2x^2+x - не равно 0 значит х - не равно 0 и 2х+1 - не равно 0 (или х не равно -0,5)
у=(2х+1)/(2x^2+x)=1/х
график у=(2х+1)/(2x^2+x) совпадает с графиком y=1/x кроме точки, не входящей в одз (-0,5;-2)
у=кх проходит через начало координат и пересекает y=1/x либо в 2 точках либо не пересекает
у=кх проходит через начало координат и пересекает у=(2х+1)/(2x^2+x) либо в 2 точках либо не пересекает либо в 1 точке, если у=кх проходит через (-0,5;-2)
найдем к
y=kx
-2=k*(-0,5)
k=4 - это ответ