Question

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(3n^2 -1)}$
$\lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{5-4n}$

Answer 1

$\frac{n^2}{3n^2-1}=\frac{n^2}{n^2}\frac{1}{3-\frac{1}{n^2}} \\ n\neq0 \\ ...=\frac{1}{3-\frac{1}{n^2}} \\ \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{3n^2-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3-\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{3}$

$\frac{2n+3}{5-4n}=\frac{n}{n}\frac{2+\frac{3}{n}}{\frac{5}{n}-4} \\ n\neq0 \\ ...=\frac{2+\frac{3}{n}}{\frac{5}{n}-4} \\ \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{5-4n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{\frac{5}{n}-4}=-\frac{1}{2}$

Практически все би-линейные функции при $x\to\infty$ решаются "сокращением" найбольшей степени. Если степень числителя и знаменателя равны - предел определяют коэффициенты. Если степень знаменателя выше степени числителя - функция сойдёт в нуль.

Answer 2

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2} }{ \frac{3n^2}{n^2}- \frac{1}{n^2} } = \frac{1}{3} \\ \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{2n}{n}+ \frac{3}{n} }{ \frac{5}{n}- \frac{4n}{n} }= \frac{2}{-4}=- \frac{1}{2}$