Question

МНОГО ПУНКТОВ. решить подробно!

Answer 1

Решаем первое неравенство:
$3* 9^{x} -13* 3^{x+1}+90 \leq 0 \\ 3* 3^{2x} -13* 3^{x}*3^{1}+90 \leq 0 |:3\\ 3^{2x} -13* 3^{x}+30 \leq 0$
Левая часть неравенства представляет собой квадратный трехчлен.
Разложим его на множители по теореме о разложении  квадратного трехчлена на множители. Для этого найдем его корни, решив квадратное уравнение:
$3^{2x} -13* 3^{x}+30=0$
 
Сначала сделаем замену:   $t = 3^{x}$
Получим:  
$t^{2} -13t+30=0$
По теореме Виета:  
$x_{1} + x_{2} = 13 \\ x_{1} x_{2} = 30 \\ => x_{1}= 3,x_{2}= 10$
Обратная замена:

$3^{x} = 3 \\ 3^{x} = 3^{1} \\ x=1$
                   или
$3^{x} = 10 \\ x=log_{3}10$
Оценим Примерное значение логарифма:
$log_{3}10 == 2,1$
   
       +       1                            log_{3}10            +
--------------@----------------------------@--------------------------
                                 -
Решение первого неравенства:   [ 1 ;    log_{3}10 ].

Решаем второе неравенство:  
$x-4 \leq \frac{3}{x-2} \\ x-4 - \frac{3}{x-2}\leq 0 \\ \frac{(x-4) (x-2)-3}{x-2}\leq 0 \\ \frac{ x^{2} -6x+8-3}{x-2}\leq 0 \\ \frac{ x^{2} -6x+5}{x-2}\leq 0 \\ \frac{(x-1) (x-5)}{x-2}\leq 0$
             1             +            2                             5              +
_______@______________О________________@_________________
    -                                                      -

Решение второго неравенства:  (-оо ; 1] U (2 ;  5].

Решение системы есть пересечение решений первого и второго неравенств:

ОТВЕТ:   {1} U ( 2 ; log{3}10 ].