Ответы
Ответ дал:
0
Оо, знакомая задача. Решал намедни.
Заметим, что
![a + 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} + 1)^2 a + 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} + 1)^2](https://tex.z-dn.net/?f=a+%2B+2%5Csqrt%7Ba%7D+%2B+1+%3D+%28%5Csqrt%7Ba%7D+%2B+1%29%5E2)
Отсюда вырастает замена:![\sqrt{a} + 1 = t \geqslant 1 \sqrt{a} + 1 = t \geqslant 1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7Ba%7D+%2B+1+%3D+t+%5Cgeqslant+1)
Отсюда получаем это:
![f(x) = \dfrac{t - 2 \cos x}{t^2 + \sin^2 x} f(x) = \dfrac{t - 2 \cos x}{t^2 + \sin^2 x}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29+%3D+%5Cdfrac%7Bt+-+2+%5Ccos+x%7D%7Bt%5E2+%2B+%5Csin%5E2+x%7D)
Заметим, что функция непрерывна (знаменатель у неё никогда не обращается в ноль). Далее, производная такова:
![f'(x) = \ldots = \dfrac{2\sin x (t^2 + \sin^2 x) - 2 \sin x \cos x(t - 2\cos x)}{(t^2 + \sin^2x)^2} = \\ \\ \\ =
\dfrac{2\sin x(t^2 + \sin^2 x - t \cos x + 2 \cos^2 x)}{(t^2 + \sin^2 x)^2} = \\ \\ \\ =
\dfrac{2\sin x(t^2 - t \cos x + 1 + \cos^2 x)}{(t^2 + \sin^2 x)^2} = \dfrac{2 \sin x \left[t(t - \cos x) + 1 + \cos^2x\right]}{(t^2 + \sin^2 x)^2} f'(x) = \ldots = \dfrac{2\sin x (t^2 + \sin^2 x) - 2 \sin x \cos x(t - 2\cos x)}{(t^2 + \sin^2x)^2} = \\ \\ \\ =
\dfrac{2\sin x(t^2 + \sin^2 x - t \cos x + 2 \cos^2 x)}{(t^2 + \sin^2 x)^2} = \\ \\ \\ =
\dfrac{2\sin x(t^2 - t \cos x + 1 + \cos^2 x)}{(t^2 + \sin^2 x)^2} = \dfrac{2 \sin x \left[t(t - \cos x) + 1 + \cos^2x\right]}{(t^2 + \sin^2 x)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29+%3D+%5Cldots+%3D+%5Cdfrac%7B2%5Csin+x+%28t%5E2+%2B+%5Csin%5E2+x%29+-+2+%5Csin+x+%5Ccos+x%28t+-+2%5Ccos+x%29%7D%7B%28t%5E2+%2B+%5Csin%5E2x%29%5E2%7D+%3D+%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%3D%0A%5Cdfrac%7B2%5Csin+x%28t%5E2+%2B+%5Csin%5E2+x+-+t+%5Ccos+x+%2B+2+%5Ccos%5E2+x%29%7D%7B%28t%5E2+%2B+%5Csin%5E2+x%29%5E2%7D+%3D+%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%3D%0A%5Cdfrac%7B2%5Csin+x%28t%5E2+-+t+%5Ccos+x+%2B+1+%2B+%5Ccos%5E2+x%29%7D%7B%28t%5E2+%2B+%5Csin%5E2+x%29%5E2%7D+%3D+%5Cdfrac%7B2+%5Csin+x+%5Cleft%5Bt%28t+-+%5Ccos+x%29+%2B+1+%2B+%5Ccos%5E2x%5Cright%5D%7D%7B%28t%5E2+%2B+%5Csin%5E2+x%29%5E2%7D)
Заметим, что
, а этого достаточно для того, чтобы
при всех
. Из этого следует, что корни у производной такие же, как и у
.
В силу непрерывности функции, нам нужно, чтобы
.
Рассмотрим производную: она имеет такой же знак, как и у функции
. Значит, максимумы достигаются в точках
, а минимумы — в точках
.
![\max \limits_{\mathbb R} f(x) = f(\pi + 2\pi k) = \dfrac{t - 2 \cos (\pi + 2\pi k)}{t^2 + \sin^2 {(\pi + 2\pi k)}} = \dfrac{t + 2}{t^2}, \\ \\ \\
\min \limits_{\mathbb R} f(x) = f(2\pi k) = \dfrac{t - 2}{t^2} \max \limits_{\mathbb R} f(x) = f(\pi + 2\pi k) = \dfrac{t - 2 \cos (\pi + 2\pi k)}{t^2 + \sin^2 {(\pi + 2\pi k)}} = \dfrac{t + 2}{t^2}, \\ \\ \\
\min \limits_{\mathbb R} f(x) = f(2\pi k) = \dfrac{t - 2}{t^2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmax+%5Climits_%7B%5Cmathbb+R%7D+f%28x%29+%3D+f%28%5Cpi+%2B+2%5Cpi+k%29+%3D+%5Cdfrac%7Bt+-+2+%5Ccos+%28%5Cpi+%2B+2%5Cpi+k%29%7D%7Bt%5E2+%2B+%5Csin%5E2+%7B%28%5Cpi+%2B+2%5Cpi+k%29%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7Bt+%2B+2%7D%7Bt%5E2%7D%2C+%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cmin+%5Climits_%7B%5Cmathbb+R%7D+f%28x%29+%3D+f%282%5Cpi+k%29+%3D+%5Cdfrac%7Bt+-+2%7D%7Bt%5E2%7D)
Отсюда система неравенств:
.
Решив нижнее, находим
; но так как по построению замены
, то решением является
Подставляя его в верхнее неравенство, получаем верное неравенство. Следовательно, ![t = 1, \quad \sqrt{a} + 1 = 1, \quad a = 0. t = 1, \quad \sqrt{a} + 1 = 1, \quad a = 0.](https://tex.z-dn.net/?f=t+%3D+1%2C+%5Cquad+%5Csqrt%7Ba%7D+%2B+1+%3D+1%2C+%5Cquad+a+%3D+0.)
Ответ: 0
Заметим, что
Отсюда вырастает замена:
Отсюда получаем это:
Заметим, что функция непрерывна (знаменатель у неё никогда не обращается в ноль). Далее, производная такова:
Заметим, что
В силу непрерывности функции, нам нужно, чтобы
Рассмотрим производную: она имеет такой же знак, как и у функции
Отсюда система неравенств:
Решив нижнее, находим
Ответ: 0
Ответ дал:
0
*****************************
ответ а=0
решение во вложении
ответ а=0
решение во вложении
Приложения:
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
7 лет назад