Question

помогите разложить дробь на простейшие

Answer 1

$\frac{-x^3+17}{x^4+4x^3+5x^2+8x+6}$
Разложим знаменатель на множители, по теореме Безу найдем его делители, для этого среди множителей свободного члена найдем его корни: -1 и -3.
$x^4+4x^3+5x^2+8x+6=(x+1)(x+3)(x^2+2)$
$\frac{-x^3+17}{x^4+4x^3+5x^2+8x+6}= \frac{-x^3+17}{(x+1)(x+3)(x^2+2)}=$
$=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+3)}+\frac{Cx+D}{(x^2+2)}=$
$=\frac{A(x+3)(x^2+2)+B(x+1)(x^2+2)+(Cx+D)(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+3)(x^2+2)}=$
$=\frac{(A+B+C)x^3+(3A+B+4C+D)x^2+(2A+2B+3C+4D)x+(6A+2B+3D)}{(x+1)(x+3)(x^2+2)};$
Приравнивая числители полученной дроби и искомой получаем систему
$\[\left\{\begin{aligned}&A+B+C=-1\\&3A+B+4C+D=0\\&2A+2B+3C+4D=0\\&6A+2B+3D=17\\\end{aligned}\right.\]$
Можно решить матричным методом
$\left(\begin{array}{ccccc}1&1&1&0&-1\\3&1&4&1&0\\2&2&3&4&0\\6&2&0&3&17\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ccccc}1&1&1&0&-1\\0&-2&1&1&3\\0&0&1&4&2\\0&-4&-6&3&23\end{array}\right)\sim$
$\sim\left(\begin{array}{ccccc}1&1&1&0&-1\\0&-2&1&1&3\\0&0&1&4&2\\0&0&-8&1&17\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ccccc}1&1&1&0&-1\\0&-2&1&1&3\\0&0&1&4&2\\0&0&0&33&33\end{array}\right)$
Записываем систему с коэффициентами последней матрицы
$\[\left\{\begin{aligned}&A+B+C=-1\\&-2B+C+D=3\\&C+4D=2\\&33D=33\\\end{aligned}\right.\] \Rightarrow\[\left\{\begin{aligned}&A=3\\&B=-2\\&C=-2\\&D=1\\\end{aligned}\right.\]$
$\frac{-x^3+17}{x^4+4x^3+5x^2+8x+6}=\frac{3}{(x+1)}-\frac{2}{(x+3)}-\frac{2x-1}{(x^2+2)}$