Question

Решите пожалуйста интеграл.

Answer 1

$m=\int_0^{2\pi}6\sqrt{18}(1+cos\varphi )^{\frac{3}{2}}\, d\varphi =\\\\=6\cdot 3\sqrt2\int _0^{2\pi }\, (2cos^2\frac{\varphi }{2})^{\frac{3}{2}}\, d\varphi =18\sqrt2\cdot \sqrt{2^3}\int _0^{2\pi }\, cos^3\frac{\varphi}{2}\, d\varphi =\\\\=[\, cos^3a=cos^2a\cdot cosa\; ,\; cos^2a=1-sin^2a\, ]=\\\\=72\int_0^{2\pi }(1-sin^2\frac{\varphi }{2})\cdot cos\frac{\varphi}{2}\, d\varphi =72\cdot 2\int _0^{2\pi }\, (1-sin^2\frac{\varphi }{2})\cdot d(sin\frac{\varphi }{2})=$

$=144(sin\frac{\varphi }{2}-\frac{1}{3}sin^3\frac{\varphi }{2})|_0^{2\pi }=0$