Question

площа прямокутної трапеції дорівнює S, гострий кут дорівнює a. Знайти висоту трапецii, якщо ii менша дiагональ дорiвнюэ бiльшiй основi.

Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол равен a. Найти высоту трапецii, если ii меньше диагоналей дорiвнюэ большем основе.

Answer 1

Обозначим трапецию (слева снизу по часовой стрелке) ABCD. Пусть прямой угол будет D. Значит высота будет CD. Тогда малая диагональ BD и она равна по условию AD, т.е. треугольник ADB - равнобедренный, BD=AD,  <ABD=<BAD = a
Тогда <ADB = 180 -2*a,  а <BDC= 90 - <ADB = 2*a -90

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

S=(AD+BC)* CD/2
Выразим AD и BC  через высоту
BC= CD* tg<BDC=CD*tg(2*a-90)
BD= CD/cos(2*a-90), но AD=BD,  значит
AD=CD/cos(2*a-90)

(CD*tg(2*a-90)+CD/cos(2*a-90))*CD/2= S
(CD*sin(2*a-90) +CD)*CD/(2*cos(2*a-90)=S
             sin (2*a-90)+1
CD^2 * --------------------- = S
             2*cos(2*a-90)

                      2*S*cos(2*a-90)
CD =корень(--------------------- )
                       sin (2*a-90)+1

Answer 2

Трапеция АВСД:  А =В = 90гр
пусть большее основание равно АД = а, а меньшее равно ВС = в, высота трапеции АВ = Н, угол Д = α
По условию диагональ АС = АВ  (большей стороне), тогда ΔАСД равнобедренный и АС = а, а угол АСД = α
В прямоугольном ΔАВС гипотенуза АС = а, катет АВ = Н и угол АСВ = 180 - 2α.
Выразим а и в через Н:
а = Н/sin (180 - 2α) = H/sin 2α
b = H/tg (180 - 2α) = -H/tg 2α
Площадь трапеции S = 0.5(a + b)·H
S = 0.5(H/sin2α -H/tg 2α)·H
S = 0.5H²(1/sin 2α - cos2α/sin2α)
S = 0.5H²(1 - cos 2α)/sin 2α
S = 0.5H² · 2sin²α/(2sin α · cos α)
S = 0.5H² · sin α/ cos α
S = 0.5H² · tg α
H²  = 2S/tg α
H²  = 2S ·ctg α
H = √(2S·ctg α)