Question

Решите уравнение

81^0,5x - 0,75 = 7 * 3^ x-2 - 4

Найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (1; 2,25]

Answer 1

$\displaystyle 81^{0.5x-0.75}=7*3^{x-2}-4\\\\(3^4)^{0.5x-0.75}=7*3^{x-2}-4\\\\3^{2x-3}=7*3^{x-2}-4\\\\3^{2x}*3^{-3}-7*3^x*3^{-2}+4=0 \\\\ \frac{3^{2x}}{27}-7* \frac{3^x}{9}+4=0\\\\ \frac{3^{2x}}{27}-21* \frac{3^x}{27}+ \frac{108}{27}=0\\\\(3^x)^2-21*3^x+108=0$
$\displaystyle 3^x=t\\\\t^2-21t+108=0\\\\D=441-432=9\\\\t_{1.2}= \frac{21\pm 3}{2}\\\\t_1= 12; t_2=9\\\\3^x=9; 3^x=3^2; x=2\\\\3^x=12;x=log_312$

Найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (1; 2,25]

x=2 принадлежит данному промежутку. 
проверим второй корень 

$\displaystyle x=log_312\\\\1=log_33\\\\2.25=log_33^{2.25}=log_33^{9/4}=log_3 \sqrt[4]{3^9}=log_33 \sqrt[4]{3}$

легко видеть что
$\displaystyle 1\ \textless \ 3 \sqrt[4]{3}\ \textless \ 12$

второй корень не принадлежит промежутку