Question

ДАЮ 100 ПУНКТОВ!!!
2log(x^2-4x+5)^2_ (4x^2+1)<=logx^2-4x+5_(3x^2+4x+1)
Если Вам не сложно, напишите на тетрадном листе, а потом прикрепите
и с ОДЗ. Спасибо

Answer 1

Сначала ОДЗ
Система из 4 выражений:
{x^2 - 4x + 5 > 0;         {D < 0; x ∈R
x^2 - 4x + 5 ≠1;            x^2 - 4 x + 4 ≠ 0;          x ≠ 2;                  
3x^2 + 4x + 1 >0;         3(x+1)(x+1/3) > 0;      x < - 1   U   x > - 1/3;   
4x^2 + 1 >0;                   x∈R;                      
После пересечения всех условий получаем ОДЗ     х ∈ (- ∞; - 1) U (- 1/3; 2) U(2; + ∞)
Теперь само решение.
После того, как квадрат степени в основании логарифма вынесем вперед как 1/2 и сократим его с 2, стоящей перед логарифмов, выражение приведется к такому виду:
log(x^2- 4x +5) _(4x^2 +1) ≤ log(x^2 - 4x+5)_(3x^2 + 4x + 1).
Видно, что в основании одно и то же выражение слева и справа.

 Воспользуемся условием равносильности знаков.
loga_b ≤ loga_c; ⇔ (a -1) *(b - c) ≤ 0 при a>0; a≠1; b>0; c>0.

(x^2 - 4 x + 5  - 1) *(4x^2 + 1 - 3x^2 - 4x - 1) ≤ 0;
(x^2 - 4x + 4) *(x^2 - 4x) ≤ 0;
(x-2)^2 * x * (x-4) ≤ 0;
Получили 3 корня,х = 2; х = 0; x = 4.    Hо х = 2 - это корень четной степени, и при переходе через него знак неравенства не меняется. Используем метод интервалов.
     +                     --          четн     --                 +
________[0]__________[2]__________[4]_______ x

Видно, что неравенство выполняется при  х∈ [0; 4].
Теперь пересекаем с ОДЗ и получаем ответ 
х ∈[0; 2) U (2; 4]

Answer 2

$2log_{(x^2+4x+5)^2}(4x^2+1) \leq log_{(x^2+4x+5)}(3x^2+4x+1);$
ОДЗ: $\[\left\{\begin{aligned}&(x^2-4x+5)^2>0 \\&(x^2-4x+5)^2 \neq 1 \\&4x^2+1>0 \\&3x^2+4x+1>0 \\\end{aligned}\right.\] \Rightarrow\[\left\{\begin{aligned}&x^2-4x+5 \neq 0 \\&x^2-4x+5 \neq 1;x^2-4x+5 \neq -1 \\&x \in R \\&D_1=1;x_1=-1;x_2=- \frac{1}{3} \\\end{aligned}\right.\] \Rightarrow$
$\left\{\begin{aligned}&D<0;x \in R \\&x \neq 2\\&x \in R\\&(- \infty;-1) \cup(- \frac{1}{3};+ \infty) \\\end{aligned}\right.\]$$\Rightarrow(- \infty;-1) \cup(- \frac{1}{3};2) \cup(2;+ \infty)$
$log_{(x^2-4x+5)}(4x^2+1) \leq log_{(x^2-4x+5)}(3x^2+4x+1);$
$x^2-4x+5>1;(x-2)^2>0;x\neq2.$ Функция вида$y=log_{(x^2-4x+5)}t$ возрастающая , тогда
$4x^2+1\leq3x^2+4x+1;$
$x^{2} -4x \leq 0;x \in[0;2) \cup(2;4]$
Ответ: $[0;2) \cup(2;4]$