Question

Уважаемые математики, кто силён духом, решите, пожалуйста, данное тригонометрическое уравнение, кто сможет тот не только герой, тот Бог

Answer 1

$3\cos4x+2\cos 2x(10\cos^4x+2\cos^2x+1)+3=0$
Заменяем
$\cos2x=2\cos^2x-1 \\ \cos4x=2(2\cos^2x-1)^2-1=8\cos^4x-8\cos^2x+1$
После упрощений получим
$40\cos^6x+12\cos^4x-24\cos^2x+4=0$.
Делаем замену $\cos^2x=t$.
Получается уравнение
$10t^3+3t^2-6t+1=0$.
Прямой подстановкой проверяем, что подходит корень t=-1. Значит
$10t^3+3t^2-6t+1=(10t^2-7t+1)(t+1)=(2t-1)(5t-1)(t+1)$.
Так что получается $\cos^2x=1/2$ и $\cos^2x=1/5$. Корень t=-1 не годится.
А значит $x=\pi/4+\pi k/2$ и
$x=\pm\arccos(1/\sqrt{5})+\pi k$, для любого $k\in\mathbb Z$.