Question

Экскаватор должен вырыть котлован за определенное время. Если он будет вынимать в час на 200м^3 грунта больше, то работа будет закончена на 10часов раньше графика. Если же экскаватор будет вынимать за каждый час на 100м^3 меньше нормы. то работа будет выполнена на 10 часов позже, чем положена по графику. Найти объем котлована и часовую норму выработки экскаватора.

Answer 1

Объём котлована x куб.м., норма выработки экскаватора y куб.м./час.
По графику время работы составляет $\frac xy$ часов.
При повышении нормы выработки на 200 куб.м./час время работы составит $\frac x{y+200}$ часов, что на 10 часов дольше работы по графику: $\frac xy-\frac x{y+200}10$.
При снижении нормы выработки на 100 куб.м./час время работы составит $\frac x{y-100}$ часов, что на 10 часов больше работы по графику: $\frac x{y-100}-\frac x{y}=10$.
Составим и решим систему:
$\begin{cases}\frac xy-\frac x{y+200}=10\\\frac x{y-100}-\frac xy=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{xy+200x-xy}{y^2+200y}=10\\\frac{xy-xy+100x}{y^2-100y}=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{200x}{y^2+200y}=10\\\frac{xy-xy+100x}{y^2-100y}=10\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}200x=10y^2+2000y\\100x=10y^2-1000y\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{y^2}{20}+10y\\5y^2+1000y=10y^2-1000y\end{cases}$
$5y^2+1000y=10y^2-1000y\\5y^2-2000y=0\;\;\div5\\y^2-400y=0\\y(y-400)=0\\y\neq0\Rightarrow y=400\\\\\begin{cases}x=12\;000\\y=400\end{cases}$

Ответ: объём котлована 12 000 куб.м., норма выработки 400 куб.м./час.