Question

Очень прошу помочь.
На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка E, а внутри треугольника точка D. EM перпендикулярно AC, AM=CM, угол B=45 градусов, угол CDA=90 градусов, угол DCA=60 градусов. Доказать, что EM=DC.

Answer 1

Пусть АМ = СМ = а, тогда АС = 2а.
Если угол В = 45гр, то поскольку  ΔАВС прямоугольный, то второй уострый угол его угол А = 45гр. Тогда ΔАВС равнобедренный и ВС = АС = 2а.
Поскольку АМ = СМ, а ЕМ перпендикулярно АС, то ЕМ параллельно ВС и ЕМ - средняя линия ΔАВС и ЕМ = 0,5ВС = а
В ΔАСД  угол Д прямой, АС - гипотенуза, а угол АСД = 60гр. Следовательно угол САД = 30гр. А катет СД, лежащий против угла в 30 гр., равен половине гипотенузы АС, т.е. СД = АС : 2 = а
Таким образом ЕМ = а и СД = а, т.е. ЕМ = СД, что и требовалось доказать.