Question

при каких значениях а прямая у=а пересекает график функции у=x^3-3x^2 в единственной точке

Answer 1

Построим график функции (см. влож.). Для того, чтобы прямая y=a пересекала его в единственной точке нужно, чтобы она проходила либо выше точки A, либо выше точки B. A и B - точки экстремума. Найдём координаты этих точек.
$y=x^3-3x^2\\y'=3x^2-6x\\3x^2-6x=0\\3x(x-2)=0\\x_1=0,\;x_2=2\\y_1=y(0)=0-0=0\Rightarrow A(0;\;0)\\y_2=y(2)=8-12=-4\Rightarrow B(2;\;-4)$.
Прямая y = a будет иметь единственную точку пересечения с графиком данной функции при $a\in(-\infty;\;-4)\cup(0;\;+\infty)$