Question

Найдите f'(x0), если
1) f(x) =1 /(2x +7)^4 - (1-x) ^3;
X0 = - 3
2) f(x) = cos4x +ctgx ;
X0 = п/2
3) f(x) = sqrt(корень из)(x^2 - 8x +12)
X0 = 4
4) f(x) =xsin (x/3 + п/6)
X0 = п

Answer 1

$1)~~f'(x)=\bigg(\dfrac{1}{(2x+7)^4}-(1-x)^3\bigg)'=\bigg(\dfrac{1}{(2x+7)^4}\bigg)'-\left(\left(1-x\right)^3\right)'=\\ \\ \\ =-\dfrac{\left(\left(2x+7\right)^4\right)'}{(2x+7)^8}-3(1-x)^2\cdot(1-x)'=-\dfrac{4(2x+7)^3\cdot(2x+7)'}{(2x+7)^8}-\\ \\ \\ -3(1-x)^2\cdot(-1)=-\dfrac{4\cdot(2x+7)^3\cdot2}{(2x+7)^8}+3(1-x)^2=-\dfrac{8}{(2x+7)^5}+3(1-x)^2$

Производная функции в точке $x_0=3:$

$f'\left(-3\right)=-\dfrac{8}{(2\cdot(-3)+7)^5}+3(1-(-3))^2=-\dfrac{8}{1^5}+3\cdot(1+4)^2=67$

Ответ: 67.

$2)$ Производная суммы равна сумме производных.

$f'(x)=\left(\cos 4x+{\rm ctg}x\right)'=\left(\cos 4x\right)'+\left({\rm ctg}x\right)=-\sin 4x\cdot (4x)'-\dfrac{1}{\sin^2x}=\\ \\ =-4\sin 4x-\dfrac{1}{\sin^2x}$

Значение производной функции в точке $x_0=\frac{\pi}{2}:$

$f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4\sin \left(4\cdot\frac{\pi}{2}\right) -\dfrac{1}{\sin^2\frac{\pi}{2}}=-4\underbrace{\sin 2\pi}_{0}-\dfrac{1}{1^2}=-1$

Ответ: -1.

3) По формуле производной произведения: $(uv)'=u'v+uv'$, имеем

$f'(x)=\left(\sqrt{x}\left(x^2-8x+12\right)\right)'=\left(\sqrt{x}\right)'(x^2-8x+12)+\sqrt{x}\left(x^2-8x+12\right)'=\\ \\ =\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \left(x^2-8x+12\right)+\sqrt{x}(2x-8)$

Вычислим значение производной функции в точке $x_0=4$

$f'(4)=\dfrac{1}{2\sqrt{4}}\cdot \left(4^2-8\cdot4+12\right)+\sqrt{4}\cdot(2\cdot 4-8)=-1$

Ответ: -1.

4) Аналогично применяем формулу из примера 3)

$f'(x)=(x)'\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+x\cdot\left(\sin\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)\right)'=\sin\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{x}{3}\cos\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)$

Найдем значение производной функции в точке $x_0=\pi$

$f'(\pi)=\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{3}\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\underbrace{\cos\frac{\pi}{2}}_{0}=1$

Ответ: 1.