Question

В ромбе ABCD AK-биссектриса угла CAB, угол BAD=60 ГРАДУСОВ,BK=12СМ.Найдите площадь ромба.

Answer 1

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, являются биссектрисами углов ромба и в точке пересечения делятся пополам.
Пусть ОВ=Х. Тогда в прямоугольном треугольнике ОАВ АВ=2*Х, так как угол ОАВ=30°. По Пифагору АО=√(4Х²-Х²)=Х√3.
Тогда АС=Х*2√3. В треугольнике САВ АК - биссектриса угла САВ, значит по свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника СК/ВК=АС/АВ или (2Х-12)/12 =Х*2√3/2Х. Или  (2Х-12) =12√3. Отсюда Х=6+6√3.
Итак, DB=2Х, АС=2Х√3. Площадь ромба равна S=D*d/2 или S=DB*AC/2 = 2X*2Х√3/2 = X²*2√3. Подставим значение Х:
S=(6+6√3)²*2√3 = (36+72√3+108)*2√3 = 72√3+432+216√3= 432+288√3 ≈ 930,2cм²
Второй вариант:
В тр-ке АВК <KAB=15°, <ABK=120° и <BKA=45°. По теореме синусов 12/Sin15°= AB/Sin45°, откуда АВ=12*Sin45°/Sin15°.
Итак АВ = 12*0,707/0,259 ≈ 32,76.
Площадь ромба равна S=а²*Sinα или S = 32,76²*0,866≈ 929,4см²

Результаты равны с учетом погрешностей значений корней и синусов углов.