Question

Алгебра. Логарифмы . Помогите, пожалуйста!)

Answer 1

Для начала упростим правую часть
$2\log_2(x^2-8x+6) \geq 2\log_24+\log_2(2x-1) \\ \log_2(x^2-8x+6)^2 \geq \log_2(16(2x-1))$

ОДЗ: $\left \{ {{x^2-8x+6>0} \atop {2x-1>0}} \right.$
_____________________________________
$2x-1>0 \\ x> \frac{1}{2}$
______________________________
**************************************
$x^2-8x+6>0$
Приравниваем к нулю
$x^2-8x+6=0 \\ \\ D=b^2-4ac=64-24=40; \sqrt{D} =2 \sqrt{10} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{x_1_,_2= \frac{-b \pm \sqrt{D} }{2a} } \\ x_1_,_2=4\pm \sqrt{10}$

___+__(4-√10)____-__(4+√10)___+___

$x \in (-\infty;4-\sqrt{10})\cup (4+\sqrt{10};+\infty)$
***********************************************
ОДЗ: $x \in ( \frac{1}{2} ;4-\sqrt{10})\cup (4+\sqrt{10};+\infty)$

$(x^2-8x+6)^2 \geq 16(2x-1) \\ (x^2-8x+6)^2-16(2x-1) \geq 0$
Приравниваем к нулю

$(x^2-8x+6)^2-16(2x-1)=0 \\ x^4-16x^3+76x^2-96x+36-32x+16=0 \\ x^4-16x^3+76x^2-128x+52=0$

Разложим одночлены в сумму нескольких
$x^4-12x^3-4x^3+26x^2+48x^2+2x^2-104x-24x+52=0$

Сделаем группировку
$(x^4-12x^3+26x^2) - (4x^3-48x^2+104x) + (2x^2-24x+52)=0$

Выносим общий множитель
$x^2(x^2-12x+26)-4x(x^2-12x+26)+2(x^2-12x+26)=0 \\ (x^2-12x+26)(x^2-4x+2)=0$

Имеем 2 квадратные уравнения

$x^2-12x+26=0 \\ D=40 \\ x_1_,_2=6 \pm \sqrt{10} \\ \\ x^2-4x+2=0 \\ D=b^2-4ac=(-4)^2-8=8 \\ x_3_,_4=2\pm\sqrt{2}$

Находим решение неравенства:


_+__(2-√2)___-_(6-√10)_+__(2+√2)__-__(6+√10)___+__

$x \in (-\infty;2-\sqrt{2}]\cup[6-\sqrt{10};2+ \sqrt{2} ]\cup[6+\sqrt{10};+\infty)$

С учетом ОДЗ решение неравенства будет иметь

$x \in (0.5;2- \sqrt{2} ]\cup [6+\sqrt{10};+\infty)$

Ответ: $x \in (0.5;2- \sqrt{2} ]\cup [6+\sqrt{10};+\infty)$