Question

Около равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) описана окржность радиуса R. Средняя линия, проведенная параллельно АС, пересекает окружность в точках E и Д. Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника ЕВД, если угол АВС = 120

Answer 1

Пусть О - центр окружности, BH - высота треугольника ABC и BK - высота треугольника EBD. Тогда
$AC=2R\sqrt{3}/2=R\sqrt{3}.$
$ED=2R\sin\angle EOK=2R\sqrt{1-\cos^2\angle EOK}=2R\sqrt{1-(3/4)^2}=\frac{R\sqrt{7}}{2}$, т.к. $\cos \angle EOK=(OH+HK)/R=(R/2+R/4)/R=3/4.$
Значит $AC/ED=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$. Поэтому
$S_{ABC}/S_{EBD}=(BH\cdot AC)/(BK\cdot ED)=2\cdot2\sqrt{3}/\sqrt{7}=4\sqrt{3}/\sqrt{7}$