Question

1. Сколько целых решений имеет неравенство x^2-0,5x-10,5меньше или равно 0?
2. Решите неравенство x-5 / x+2 меньше или равно 0
Спасибо заранее!

Answer 1

1)
$x^2-0,5x-10,5 \leq 0 \\ \\ 2x^2 -x -21 \leq 0$

В нуль выражение слева от знака неравенства обращается при:
$2x^2 -x -21 = 0 \\ \\ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 -4*2*(-21)} }{2*2} = \frac{1 \pm 13}{4} \\ \\ x_1 = -3 \\ x_2 = 3,5$

Неравенство верно, если x ∈ [-3; 3,5].
В этом интервале 7 целых значений икс: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

2) ОДЗ:  x + 2 ≠ 0  или  x ≠ -2
Неравенство можно разбить на две системы простых неравенств. Первое, когда числитель не больше нуля, а знаменатель больше нуля. Второе, когда числитель не меньше нуля, а знаменатель меньше нуля.

$\frac{x-5}{x+2} \leq 0 \\ \\ 1) \:\: \left \{ {{x-5 \leq 0} \atop {x+2 \ \textgreater \ 0}} \right. \\ \\ \left \{ {{x \leq 5} \atop {x \ \textgreater \ -2}} \right. \\ \\ x \in (-2; \: 5] \\ \\ \\ 2) \:\: \left \{ {{x-5 \geq 0} \atop {x+2 \ \textless \ 0}} \right. \\ \\ \left \{ {{x \geq 5} \atop {x \ \textless \ -2}} \right. \\ \\ x \in \oslash$

Ответ:  -2 < x ≤ 5   или  x ∈ (-2; 5]