Question

Определите какой угол образует с осью х касательная,проведенная к графику функций y=f(x) в точке с абсциссой х=а, если
1) f (x)=-3х(в кубе),а=1\3
2) f (x)=0,2x(в 5 степени),а=-1
3) f (x) =- 0,25x(в 4 степени) , а=0
4) f (x) = -7x(в кубе)+10х(в квадрате) +х-12, а=0
5) f (x)= 2x-1\3-2x,a=1\2
6) f (x)=x-1\x-2, a=1

Answer 1

Воспользуемся геометрическим смыслом производной - "Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту ("наклону") касательной, проведенной к графику функции в данной точке", или, короче: f'(x₀) = k, где k - угловой коэффициент касательной к f(x) в точке x₀". В свою очередь угловой коэффициент прямой - тангенс угла наклона. В итоге получаем: f'(x₀) = tg α, где α - угол наклона касательной.

1) f(x) = -3x³; x₀ = 1/3; f'(x) = -9x²; f'(x₀) = f'(1/3) = -1 ⇒ tg α = -1 ⇒ α = 135°

2) f(x) = 0,2x⁵; x₀ = -1; f'(x) = x⁴; f'(x₀) = f'(-1) = 1 ⇒ tg α = 1 ⇒ α = 45°

3) f(x) = -0,25x⁴; x₀ = 0; f'(x) = -x³; f'(x₀) = f'(0) = 0  ⇒ tg α = 0 ⇒ α = 0°

4) f(x) = -7x³ + 10x² + x - 12; x₀ = 0; f'(x) = -21x² + 20x + 1; f'(x₀) = f'(0) = 1 ⇒ tg α = 1 ⇒ α = 45°

5)

$f(x)=\dfrac{2x-1}{3-2x}$

x₀ = 1/2

$f'(x)=\dfrac{2\cdot(3-2x)+(2x-1)\cdot2}{(2x-3)^2}=\dfrac{4}{(2x-3)^2}$

f'(x₀) = f'(1/2) = 1 ⇒ tg α = 1 ⇒ α = 45°

6)

$f(x)=\dfrac{x-1}{x-2}$

x₀ = 1

$f'(x)=\dfrac{x-2-x+1}{(x-2)^2}=-\dfrac{1}{(x-2)^2}$

f'(x₀) = f'(1) = -1 ⇒ tg α = -1 ⇒ α = 135°