Question

Помогите, пожалуйста! Не могу решить именно эти уравнения..


2) cos2x - sinx = 0 на [0, 5п/2]

3) 2sin^2x + 3cosx - 3 = 0 на [4п, 5п]

Answer 1

$\cos2x-\sin x=0 \\ 1-2\sin^2x-\sin x=0|\cdot (-1) \\ 2\sin^2x+\sin x-1=0$

Пусть sin x = t причем |t|≤1, тогда получаем
$2t^2+t-1=0 \\ D=b^2-4ac=1^2+8=9 \\ t_1= \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2} \\ t_2= \frac{-1-3}{4} =-1$

Обратная замена

$\sin x= \frac{1}{2} \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6} +\pi k,k \in Z \\ \\ \sin x=-1 \\ x=- \frac{\pi}{2} +2 \pi k, k \in Z$

Отбор корней

Для корня $x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6} +\pi k$
k=0; x=π/6
k=1; x=5π/6
k=2; x=13π/6

Для корня $x=- \frac{\pi}{2} +2 \pi k$
k=1; x=3π/2




$3\sin^2x+3\cos x-3=0 \\ 3(1-\cos^2x)+3\cos x-3=0 \\ 3-3\cos^2x+3\cos x-3=0 \\ -3\cos x(\cos x-1)=0 \\ \left[\begin{array}{ccc}\cos x=0\\ \cos x=1\end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}x_1= \frac{\pi}{2}+\pi n,n \in Z\\ x_2=2\pi n,n \in Z \end{array}\right$

Отбор корней

Для корня $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$
n=4; x=5π/2

Для корня $x =2\pi n$
n=2; x=4π