Question

Сумма трех чисел,составляющих геометрическую прогрессию,равна 93.Если из первого числа вычесть 48,а остальные оставить без изменения,то получится арифметическая прогрессия.Найдите эти числа.

Answer 1

Пусть эти числа $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, тогда 

Сумма геометрической прогрессии из 3 членов равна:

$S=b_{1}frac{1-q^{3}}{1-q} = b_{1}(1+q+q^{2}) =93$ (1)

или 

$b_{1}+b_{2}+b_{3} = 93$

 

Обозначим первое число арифметической прогрессии буквой а, тогда:

$a = b_{1}-48$

 

Сумма арифметической прогрессии 3 членов равна:

$S = frac{a+b_{3}}{2} cdot 3$

Сумма арифметической прогрессии равна будет сумме геометрической минус 48, раскроем:

$45 cdot 2 =3 (a+b_{3}) \ a+ b_{3} = 30$

 

Также сумма арифметической прогрессии равна простой сумме ее членов, т.е.:

$a+ b_{2}=b_{3} = 45$

Из последних двух уравнений найдем второй член прогрессии:

$b_{2} = 45-(a+b_{3}) = 45-30 = 15$

Нашли второй член прогрессии, он равен 15. Подставим в (1) уравнение, представив первый член через второй:

$frac{b_{2}}{q}(1+q+q^{2}) = 93 /cdot q \ 15+15q+15q^{2}=93q\ 15q^{2}-78q+15=0 /:15\ q^{2}-5,2q+1=0\ D= 27,04-4 = 23,04 \ q_{1} = (5,2+4,8)/2=5\ q_{2} = (5,2-4,8)/2=0,2$

Получили два знаменателя геометрической прогрессии, через него выразим все числа через второй известный член прогрессии:

$1) b_{1} = 15/5 = 3\ b_{2} = 15\ b_{3} = 15cdot 5 = 75\ 2) b_{1} = 15/0,2 = 75\ b_{2} = 15\ b_{3} = 15cdot 0,2 = 3$

 

Получили возрастающую и убывающую прогрессии:

1) 3, 15, 75

2) 75, 15, 3

Это и будет ответом.

 

З.Ы. Можешь проверить на арифметической прогрессии (вычесть 48 из первого члена) и увидишь, что арифметические прогрессии тоже выполняются.