Question

7x – 4y = 29
Решить метод Евклида

Найти целые решения уравнения

ЗАДАНИЕ ОТ САЙТА

Answer 1

Решим уравнение  7х-4у=29 в целых числах по методу Евклида.
Данное уравнение имеет вид:
ax₀+by₀=A, где a=7, b=-4, A=29
Тогда его решение запишется так:
x=x₀-bt; y=y₀+at, t∈Z

1) Находим наибольший общий делитель чисел 7 и 4. 
     Т.к. данные числа являются взаимно-простыми, то НОД(7;4)=1

2) С помощью алгоритма Евклида находим линейное
     представление числа 1 через числа 7 и 4:
    7=4*1+3
    4=3*1+1
    Из последнего равенства выражаем число 1, получаем
   1=4-3*1
    Теперь из первого равенства выражаем число 3 (3=7-4*1) и подставляем
    в представление для числа 1, в итоге получаем:
   1=4-3*1=4-(7-4*1)*1=4-7*1+4*1=-7*1+4*2=7*(-1)-4*(-2)
   Получаем пару чисел х₀=-1*А=-1*29=-29
                                             у₀=-2*А=-2*29=-58
  Данная пара чисел x₀=-29 и y₀=-58 
 является частным решением уравнения 7х-4у=29

3) Осталось записать общее решение уравнения:
   х=-29+4t, y=-58+7t, t∈Z