Question

2.1-составить уравнение касательной и нормали к заданной к кривым в точке с абсциссой х0.
3.1-найти производные dy/dx для функций,заданных в параметрическом виде

Answer 1

2.1)
а) 1. Найдем производную функции:
$y'(x)=4x^{3}$
2. Найдем значение производной в точке х0:
$y'(x_{0})=y'(1)=4*1^{3}=4$
3. Запишем уравнение касательной:
$Y=y(x_{0})+y'(x_{0})*(x-x_{0})$
$y(x_{0})=y(1)=1-3=-2$
$Y=-2+4*(x-1)=4x-2-4=4x-6$
4. Уравнение нормали:
$F=y(x_{0})- \frac{1}{y'(x_{0})}*(x-x_{0})$
$F=-2- \frac{1}{4}*(x-1)=-\frac{x}{4}-2+\frac{1}{4}=-\frac{x}{4}-\frac{7}{4}$

б) $y^{3}=-3x^{2}-15$
$y= \sqrt[3]{-3x^{2}-15}$
$y'(x)=(\sqrt[3]{-3x^{2}-15})'=-\frac{2x}{\sqrt[3]{(-3x^{2}-15})^{2}}$
$y'(x_{0})=y'(2)=-\frac{2*2}{\sqrt[3]{(-3*2^{2}-15})^{2}}=-\frac{4}{\sqrt[3]{(-27})^{2}}=-\frac{4}{\sqrt[3]{3^{6}}}=-\frac{4}{9}$
$y(x_{0})=y(2)=\sqrt[3]{-3*4-15}=\sqrt[3]{-27}=-3$
$Y=-3-\frac{4}{9}*(x-2)=-\frac{4}{9}*x-3+\frac{8}{9}=-\frac{4}{9}*x-\frac{19}{9}$
$F=-3-\frac{9}{4}*(x-2)=-\frac{9}{4}*x+\frac{9}{2}-3=-\frac{9}{4}*x+\frac{3}{2}=-2.25x+1.5$

3.1) 
1. Найдем дифференциалы обеих частей каждого из равенств:
$\left \{ {{dx=x'_{t}dt=-(sint)dt} \atop {dy=y'_{t}dt=(1+cost)dt}} \right.$

2. Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{dy}{dx}=y'_{x}=\frac{y'_{t}dt}{x'_{t}dt}=-\frac{1+cost}{sint}$
Это и есть первая производная от функции, заданной параметрически.

3. Для нахождения второй производной необходимо выполнить преобразования:
$\frac{d^{2}y}{d^{2}x}=y''_{xx}=(y'_{x})'=\frac{(y'_{x})'_{t}}{x'_{t}}=\frac{(-\frac{1+cost}{sint})'}{-sint}=\frac{\frac{(-sint)*sint-(1+cost)*cost}{sin^{2}t}}{sint}=\frac{-sin^{2}t-cost-cos^{2}t}{sin^{3}t}=\frac{-1-cost}{sin^{3}t}=-\frac{1+cost}{sin^{3}t}$